Análisis Geométrico Computacional Interactivo
Geometría Computacional • Grado iMAT • Curso 2025-2026
Este proyecto presenta una herramienta interactiva para el análisis exhaustivo de polígonos y la relación espacial de puntos respecto a ellos. Utilizando algoritmos fundamentales de geometría computacional, la aplicación permite estudiar propiedades geométricas esenciales de manera visual e intuitiva.
El análisis que ofrece la herramienta interactiva se divide en seis apartados principales, cada uno implementando algoritmos específicos que permiten comprender la naturaleza geométrica de los polígonos, sus características y su interacción con puntos en el plano.
Determinar si el polígono es convexo o cóncavo mediante el análisis de giros.
Localizar si un punto se encuentra dentro, fuera o sobre el borde del polígono.
Calcular las líneas tangentes desde un punto exterior al polígono.
Calcular el área utilizando el método del área signada.
Identificar y clasificar diagonales internas y externas.
Clasificar cada vértice según su tipo geométrico.
Calcular el cierre convexo del polígono usando el algoritmo de Lee (Gift Wrapping).
La base de todos los algoritmos es el cálculo del área signada de un triángulo formado por tres puntos a, b, c :
El signo del área indica la orientación: positivo para giro antihorario, negativo para horario, y cero si los puntos son colineales.
La convexidad de un polígono se determina analizando la orientación de los giros consecutivos de sus vértices. Si todos los giros poseen el mismo signo, el polígono es convexo; si existen giros con signo distinto, es cóncavo.
Para cada trío consecutivo de vértices (vi-1, vi, vi+1), se calcula el área signada. El signo de cada valor indica la orientación local (horaria o antihoraria). Se recogen todos los signos no nulos y se comprueba si son iguales.
Detección de polígonos convexos es fundamental en gráficos computacionales, colisiones y optimización geométrica, donde los algoritmos se simplifican si las regiones son convexas.
El problema consiste en determinar si un punto está dentro, fuera o sobre el borde de un polígono. Se basa en la paridad de intersecciones entre un rayo lanzado desde el punto y los lados del polígono.
Se traza una semirrecta horizontal desde el punto hasta el infinito. Por cada arista, se verifica si el rayo la cruza. Si el número total de cruces es impar, el punto está dentro; si es par, está fuera. Si el punto pertenece a una arista, se considera en el borde.
Usado en detección de colisiones, selección de objetos en interfaces gráficas y análisis de pertenencia de puntos en regiones geográficas o modelos CAD.
Desde un punto exterior a un polígono, las tangentes son líneas que tocan al polígono en un solo punto sin cortarlo. El criterio de cambio de signo en el área signada permite detectarlas.
Se recorren las aristas (vi, vi+1) y se calcula el signo del área signada del triángulo (vi, vi+1, q). Cuando hay un cambio de signo entre aristas consecutivas, se detecta una tangente.
En visión por ordenador (detección de siluetas), robótica (trayectorias sin colisión) y óptica geométrica (trayectorias tangenciales).
El área de un polígono simple puede calcularse sumando las áreas signadas de los triángulos formados por un vértice fijo y cada par consecutivo de vértices adyacentes.
Se fija un vértice p0 y se recorren los pares (pi, pi+1). Se acumulan las áreas signadas del triángulo (p0, pi, pi+1). El área final es el valor absoluto de la suma.
Cálculo de superficies en CAD, GIS, y simulaciones físicas donde el área determina magnitudes (densidad, masa, flujo, etc.).
Una diagonal conecta dos vértices no adyacentes del polígono. La clasificación en interna o externa depende de si la diagonal está completamente dentro o fuera del polígono.
Se generan todas las posibles diagonales. Cada una se descarta si interseca con algún lado. Después, según la convexidad local de los vértices extremos, se determina si la diagonal es interna (visible dentro) o externa.
Utilizado en triangulación de polígonos, modelado 3D, descomposición en mallas y detección de visibilidad.
Un vértice es convexo si el ángulo interior del polígono en ese punto es menor de 180°, y cóncavo si es mayor. Esto se determina mediante el signo del área signada del triángulo formado por el vértice y sus adyacentes.
Se calcula el signo del área signada para cada trío consecutivo (vi-1, vi, vi+1). Si el signo coincide con la orientación global del polígono, el vértice es convexo; si es opuesto, es cóncavo.
Identificación de puntos críticos en polígonos, simplificación de contornos, análisis de forma y segmentación de regiones.
El cierre convexo de un conjunto de puntos es el polígono convexo más pequeño que los contiene a todos. Se puede imaginar como una banda elástica que se estira alrededor de los puntos y se ajusta a su forma exterior. Este concepto es fundamental en geometría computacional, ya que permite definir límites convexos de conjuntos arbitrarios.
El algoritmo de Lee, también conocido como Gift Wrapping, comienza buscando el punto más inferior (y más a la izquierda en caso de empate). Desde ese punto, se selecciona iterativamente el vértice que forma el ángulo más a la izquierda con respecto al anterior, "envolviendo" todos los puntos hasta regresar al punto inicial. Este proceso garantiza un recorrido completo del contorno convexo.
El cierre convexo se aplica en una amplia variedad de áreas:
Los algoritmos implementados en esta web interactiva no solo tienen valor académico, sino que constituyen la base de múltiples soluciones prácticas en ingeniería, computación y análisis geométrico. A continuación, se presentan algunos ejemplos concretos de su aplicación en contextos reales.
El análisis de la convexidad es esencial en procesamiento de imágenes y visión por computador. Permite identificar formas regulares, detectar objetos o determinar contornos de figuras reconocibles. Por ejemplo, en un sistema de inspección industrial automatizado, este algoritmo se usa para verificar si una pieza metálica tiene deformaciones (cóncavas) o mantiene su forma convexa.
Ejemplo real: Control de calidad en producción de tuercas y engranajes mediante análisis de contornos convexos.
Este algoritmo se emplea en sistemas GIS (Geographic Information Systems) para determinar si una coordenada geográfica se encuentra dentro de una zona determinada: por ejemplo, si una estación meteorológica pertenece a un área de riesgo o si un usuario está dentro de una región con cobertura 5G.
Ejemplo real: Determinar si un dron se encuentra dentro del espacio aéreo permitido o en zona restringida.
Las tangentes a un polígono tienen aplicaciones en robótica y planificación de trayectorias. Sirven para generar trayectorias seguras sin colisión entre un robot y un obstáculo poligonal. En gráficos por ordenador, las tangentes también se usan para calcular sombras o campos de visión.
Ejemplo real: Robots móviles que deben desplazarse alrededor de objetos con trayectorias tangentes sin invadir el espacio de colisión.
El cálculo de áreas mediante el método del área signada se utiliza en modelado CAD, cartografía digital y simulaciones físicas donde es necesario obtener superficies exactas. También se aplica en agrimensura para medir parcelas irregulares a partir de coordenadas GPS.
Ejemplo real: Cálculo automático de la superficie útil de una finca o edificio a partir de los vértices registrados por dron.
Las diagonales de un polígono son fundamentales en computación gráfica y modelado 3D. Se usan para subdividir superficies en triángulos (triangulación), proceso esencial en el renderizado y en simulaciones físicas basadas en mallas.
Ejemplo real: Generación de mallas triangulares en motores gráficos como Unity o Blender para modelar objetos complejos.
Esta clasificación se utiliza en simplificación de contornos y en reconocimiento de formas. Los vértices cóncavos pueden indicar zonas de pliegue o deformación en estructuras físicas, mientras que los convexos delimitan los bordes exteriores más estables.
Ejemplo real: Análisis estructural de piezas 3D para detectar zonas con tensión o deformación en software de ingeniería (como SolidWorks o ANSYS).
El cierre convexo es un concepto esencial en análisis de datos y machine learning, ya que permite delimitar regiones mínimas que contienen un conjunto de puntos. Se usa para identificar fronteras de clusters, agrupar nubes de puntos o definir zonas de influencia.
Ejemplo real: En visión artificial, el cierre convexo se emplea para reconocer el contorno mínimo que encierra un conjunto de píxeles (por ejemplo, la silueta de una mano o de un objeto).
En definitiva, estos algoritmos constituyen la base de numerosos proyectos reales:
Estos ejemplos ilustran la conexión directa entre la geometría computacional y las tecnologías aplicadas en la industria, la investigación y el desarrollo de software.
Si la opción seleccionada requiere de colocar un punto de estudio en la cuadrícula, deberás hacerlo mediante una de estas 2 opciones:
Los resultados se muestran en el panel inferior con información detallada de cada análisis. Como por ejemplo: